Distributions

• A parte de Econometria no R é baseada no livro de Florian Heiss “Using R for Introductory Econometrics” (2ª edição, 2020)
  • Aplica no R o conteúdo e os exemplos do livro do Wooldridge de 2019 (versão em inglês)
  • É possível ler gratuitamente a versão online em: http://www.urfie.net
  • Há também uma versão de Python do livro em: http://www.upfie.net
• A base de dados dos exemplos contidos no livro do Wooldridge podem ser obtidos por meio da instalação e do carregamento do pacote wooldridge:

install.packages("wooldridge")

Distribuições

• Seção 1.7 de Heiss (2020)

• Probability Distributions in R (Examples): PDF, CDF & Quantile Function (Statistics Globe)

• Basic Probability Distributions in R (Greg Graham)

• As funções relacionadas a distribuições são dadas por <prefixo><nome da distribuição>

• Existem 4 prefixos que indicam qual ação será realizada:

  • d: retorna uma probabilidade a partir de uma função de densidade de probabilidade (pdf)
  • p: retorna uma probabilidade acumulada a partir de uma função de distribuição acumulada (cdf)
  • q: retorna uma estatística da distribuição (quantil) dada uma probabilidade acumulada
  • r: gera números aleatórios dada a distribuição

• Existem diversas distribuições disponíveis no R:

  • norm: Normal
  • bern: Bernoulli (pacote Rlab)
  • binom: Binomial
  • pois: Poisson
  • chisq: Qui-Quadrado ( $\chi^2$)
  • t: t-Student
  • f: F
  • unif: Uniforme
  • weibull: Weibull
  • gamma: Gamma
  • logis: Logística
  • exp: Exponencial

• Seguem as principais distribuições e suas respectivas funções:

em que x e q são estatísticas de cada distribuição (quantis), e p é probabilidade.

Distribuição Normal

• Considere uma normal padrão, $N(\mu=0, \sigma=1)$, e escores padrão $Z=-1,96 \text{ e } 1,96$ (para intervalo de confiança de $\approx 5\%$):

• [d]: Densidade a partir de uma pdf, dada estatística (escore padrão):

dnorm(1.96, mean=0, sd=1) # probabilidade para escore padrão de 1,96

## [1] 0.05844094

dnorm(-1.96, mean=0, sd=1) # probabilidade para escore padrão de -1,96

## [1] 0.05844094

• [p]: Probabilidade acumulada a partir de uma cdf, dada estatística (escore padrão):

pnorm(1.96, mean=0, sd=1) # probabilidade acumulada para escore padrão de 1,96

## [1] 0.9750021

pnorm(-1.96, mean=0, sd=1) # probabilidade acumulada para escore padrão de -1,96

## [1] 0.0249979

Logo, a probabilidade de que uma variável aleatória com distribuição normal padrão esteja com valor entre -1,96 e 1,96 é de 95%

pnorm(1.96, mean=0, sd=1) - pnorm(-1.96, mean=0, sd=1)

## [1] 0.9500042

• [q]: Estatística (escore padrão) a partir de um quantil:

qnorm(0.975, mean=0, sd=1) # quantil dada o quantil de 97,5%

## [1] 1.959964

qnorm(0.025, mean=0, sd=1) # quantil dada o quantil de 2,5%

## [1] -1.959964

Podemos criar gráficos usando a função curve( function(x), from, to ), na qual inserimos uma função com um x arbitrário e seus limites mínimo e máximo (from e to):

# pdf de normal padrão com estatística (escore padrão) no intervalo -3 e 3
curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), from=-3, to=3)

# cdf de normal padrão com estatística (escore padrão) no intervalo -3 e 3
curve(pnorm(x, mean=0, sd=1), from=-3, to=3)

# quantil de normal padrão com probabilidade acumulada no intervalo 0 e 1
curve(qnorm(x, mean=0, sd=1), from=0, to=1)

Distribuição t-Student

• Criaremos gráficos com diversos graus de liberdade
• Quanto maior os graus de liberdade, mais se aproxima de uma normal padrão

curve(dnorm(x, mean=0, sd=1), from=-3, to=3, pch=".") # pdf normal padrão

for (n in c(1, 2, 4, 6, 10)) {
    curve(dt(x, df=n), from=-3, to=3, col=n, add=T) # pdf t-student
}

Distribuição Qui-Quadrado

• Criaremos gráficos com diversos graus de liberdade

curve(dchisq(x, df=1), from=0, to=6, col=n) # pdf qui-quadrado

for (n in c(2:5)) {
    curve(dchisq(x, df=n), from=0, to=6, col=n, add=T) # pdf qui-quadrado
}

Distribuição F

• Criaremos gráficos com diversos graus de liberdade

curve(df(x, df1=1, df2=1), from=0, to=6, col=n) # pdf F

for (n in c(2:5)) {
    curve(df(x, df1=n, df2=n), from=0, to=6, col=n, add=T) # pdf F
}

Simulação

Geração de números aleatórios

• Simulation - Random sampling (John Hopkins/Coursera)
• Para gerar números aleatórios, usaremos o prefixo r junto de uma distribuição.

rnorm(5) # gerando 5 números aleatórios

## [1]  1.9263422  0.8835259  0.4614015 -0.5351940 -0.2656456

• Para reproduzir resultados que usem números aleatórios, podemos definir “sementes” usando a função set.seed() e informando um número inteiro. Isso também é válido para a função sample().

# definindo seed
set.seed(2022)
rnorm(5)

## [1]  0.9001420 -1.1733458 -0.8974854 -1.4445014 -0.3310136

# sem definir seed
rnorm(5)

## [1] -2.9006290 -1.0592557  0.2779547  0.7494859  0.2415825

# definindo seed
set.seed(2022)
rnorm(5)

## [1]  0.9001420 -1.1733458 -0.8974854 -1.4445014 -0.3310136

Exemplo: Criação de observações x e y

Vamos criar observações da variável $x$ a partir de uma distribuição uniforme no intervalo [0, 10]:

N = 100 # número de observações
x = runif(N, 0, 10) # nº aleatórios a partir de U[0,10]
head(x)

## [1] 0.01862073 1.59799489 1.44741664 5.19396774 6.09476454 1.22510589

Agora, vamos criar a variável $y = 10 - 2x + \varepsilon, \ \varepsilon \sim N(0, 3^2)$ e plotar ambas variáveis em um scatterplot:

e = rnorm(N, mean=0, sd=3)
y = 10 - 2*x + e
plot(x, y) ## scatterplot entre x e y
abline(a=10, b=-2, col="red")

Amostragem aleatória

• Para fazer uma amostragem a partir de um dado vetor, usamos a função sample()

sample(x, size, replace = FALSE, prob = NULL)

x: either a vector of one or more elements from which to choose, or a positive integer. See ‘Details.’
n: a positive number, the number of items to choose from.
size: a non-negative integer giving the number of items to choose.
replace: should sampling be with replacement?
prob: a vector of probability weights for obtaining the elements of the vector being sampled.

sample(letters, 5) # Amostragem de 5 letras

## [1] "p" "c" "u" "e" "j"

sample(1:10, 4) # Amostragem de 4 números de 1 a 10

## [1] 3 2 1 6

sample(1:10) # Permutação (amostra mesma qtd de elementos do vetor)

##  [1]  7  3  5  8  6  4  9 10  2  1

sample(1:10, replace = TRUE) # Amostragem com reposição

##  [1]  3  5  4 10  2  9  7  4 10  1

• Note que, por padrão, a função sample() faz a amostragem sem reposição.

Exemplo: Lei dos Grandes Números (LGN)

• Podemos usar a amostragem para simular jogadas de dado não-viesado.
• Vamos jogar uma vez o dado:

sample(1:6, 1) # amostra um número dentro do vetor 1:6

## [1] 2

• Vamos jogar 1000 vezes o dado (usando função replicate()) e verificar sua distribuição:

amostra = replicate(1000, expr=sample(1:6, 1))
table(amostra) # tabela com contagem das jogadas

## amostra
##   1   2   3   4   5   6 
## 165 173 161 153 165 183

# Gráfico
plot(table(amostra), type="h")

mean(sample(1:6, 2))

## [1] 2.5

• Fazendo isso 1000 vezes, temos:

amostra = replicate(1000, mean(sample(1:6, 2, replace=T)))
table(amostra) # tabela com contagem das médias de 2 jogadas

## amostra
##   1 1.5   2 2.5   3 3.5   4 4.5   5 5.5   6 
##  33  51  72 105 138 192 122 104  78  68  37

# Gráfico
plot(table(amostra), type="h")

• Note que, ao repetir 1000 vezes, o cálculo da média de 2 jogadas de dado, começou a dar mais peso para médias próximas à média populacional (3,5), mas ainda tem densidade nos valores mais extremos (1 e 6)
• Foi necessário usar o argumento replace=TRUE para ter “reposição” dos números do dado
• Calculando 1000 vezes a média de $N=100$ jogadas de dado, temos:

N = 100 # nº de observações
amostra = replicate(1000, mean(sample(1:6, N, replace=T)))

# Gráfico
plot(table(amostra), type="h", xlim=c(1,6))

• Note que, quanto maior $N$, a distribuição das médias vai se degenerando, tendo maior concentração na proximidade da média populacional (3,5), e sendo praticamente nula em médias mais distantes.

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